说明

Welcome to Hua Sheng Blog! This is a note about Probability and Mathematical Statistics.
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于2023/04/17停止更新

希腊字母读音

1、 Α α alpha a:lf 阿尔法角度；系数 \
2 、Β β beta bet 贝塔磁通系数；角度；系数 \
3、 Γ γ gamma ga:m 伽马电导系数（小写） \
4、 Δ δ delta delt 德尔塔变动；密度；屈光度 \
5、 Ε ε epsilon epsilon 伊普西龙对数之基数 \
6、 Ζ ζ zeta zat 截塔系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数 \
7、 Η η eta eit 艾塔磁滞系数；效率（小写） \
8、 Θ θ thet θit 西塔温度；相位角 \
9、 Ι ι iot aiot 约塔微小，一点儿 \
10、 Κ κ kappa kap 卡帕介质常数 \
11、 ∧ λ lambda lambd 兰布达波长（小写）；体积 \
12、 Μ μ mu mju 缪磁导系数；微（千分之一）；放大因数（小写） \
13、 Ν ν nu nju 纽磁阻系数 \
14、 Ξ ξ xi ksi 克西 \
15、 Ο ο omicron omikron 奥密克戎 \
16、 ∏ π pi pai 派圆周率=圆周÷直径=3.1416 \
17、 Ρ ρ rho rou 肉电阻系数（小写） \
18、 ∑ σ sigma sigma 西格马总和（大写），表面密度；跨导（小写） \
19、 Τ τ tau tau 套时间常数 \
20、 Υ υ upsilon jupsilon 宇普西龙位移 \
21、 Φ φ phi fai 佛爱磁通；角 \
22、 Χ χ chi phai 西 \
23、 Ψ ψ psi psai 普西角速；介质电通量（静电力线）；角 \
24、 ω omega o`miga 欧米伽欧姆（大写）；角速（小写）；角

第一章事件的概率

1.1 概率是什么

1.1.1 主观概率

许多决策都难免要包含个人判断的成分，而这就是主观概率.

1.1.2试验与事件

事件不是指已发生了的情况，而是指某种(或某些)情况的“陈述”

1.有一个明确界定的试验.2.这个试验的全部可能结果，是在试验前就明确的.3.我们有一个明确的陈述，这个陈述界定了试验的全部可能结果中一确定的部分.

在概率论上，有时把单一的试验结果称为一个“基本事件”.这样，一个或一些基本事件并在一起，就构成一个事件，而基本事件本身也是事件.

1.1.3 古典概率

设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个结果，则事件E的概率，记为P(E),定义为

P (E) = M / N

1.1.4概率的统计定义

“概率的统计定义” 一是提供了一种估计概率的方法，二是它提供了一种检验理论正确与否的准则. 概率与频率

1.1.5概率的公理化定义

概率是事件的函数.
与此相应，在柯氏公理体系中，引进了一个定义在事件集上的函数P.对事件集中任一成员A,P(A)之值理解为事件A的概率.柯氏公理体系对这个函数P加上了几条要求(即公理):①0≤P(A)≤1,对任何成员A,这相应于要求概率在0,1之间.②P(Ω)=1,P(×)=0.这相应于说必然事件有概率1,不可能事件有概率0.③加法公理

1.2古典概率计算

1.2.1 排列组合的几个简单公式

1.n个相异物件取r个(1≤r≤n)的不同排列总数，为

P_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1)

P_{r}^{r} = r (r - 1) \dots 1 = r!

2.n个相异物件取r个(1≤r≤n)的不同组合总数，为

C_{r}^{n} = P_{n}^{r} / r! = n! / (r! (n - r)!)

每一个包含r物件的组合，可以产生r!个不同的排列.故排列数应为组合数的r!倍\
在起始、结束标记用下列词替换 matrix\
pmatrix：小括号边框\
bmatrix：中括号边框\
Bmatrix：大括号边框\
vmatrix：单竖线边框\
Vmatrix：双竖线边框

$C_{r}^{n}$ 的一个更通用的记号是 $(\begin{matrix} n r \end{matrix})$ ,这叫组合系数，也叫二项式系数.我们今后将用 $(\begin{matrix} n r \end{matrix})$ 取代 $C_{r}^{n}$ . 当r=0时，按0!=1之约定，

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = n (n - 1) \dots (n - r + 1) / r!

只要r为非负整数，n不论为任何实数，都有意义.故n可不必限制为自然数.

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ i \end{array}) a^{i} b^{n - i}

示例

4,n个相异物件分成k堆，各堆物件数分别为r?,…,r,的分法是 $n! / (r_{1}! \dots r_{k}!)$

1.2.2古典概率计算举例

例2.2 一批产品共N个，其中废品有M个.现从中随机(或说随意)取出n个，问“其中恰好m个废品”这个事件E的概率是多少?

P (E) = (\begin{matrix} M \\ m \end{matrix}) (\begin{matrix} N - M \\ n - m \end{matrix}) / (\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}) $ $ 这 里 要 求 m \leq M, n - m \leq N - M, 否 则 概 率 为 0 (因 E 为 不 可 能 事 件) . n 双 相 异 的 鞋 共 2 n 只 ， 随 机 地 分 成 n 堆 ， 每 堆 2 只 . 问 “ 各 堆 都 自 成 一 双 鞋 ” 这 个 事 件 E 的 概 率 是 多 少 ? $ $ P (E) = M / N = n! 2^{n} / (2 n)! = 1 / (2 n - 1)!!

a!!这个记号对奇自然数定义：a!!=1·3·5…a,即所有不超过a的奇数之积.

例2.5 有21本不同的书，随机地分给17个人.问“有6人得0本，5人得1本，2人得2本，4人得3本”这个事件E的概率是多少？
因为每本书都有17种可能的分法，故总的不同分法，有 $17^{21}$ 种.为计算有利于事件E的分法，得分两步分析：①按得书本数不同把17人分成4堆，各堆分别含6(0本)、5(1本)、2(2本)、4(3本)人.不同的分法有 $17 ！ / (6 ！ 5 ！ 2 ！ 4 ！)$ 种.
②把21本书按17人得书数情况分为17堆,各堆数目依次为 $0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3$ 不同分法有 $21! / (0!^{6} 1!^{5} 2!^{2} 3!^{4}) = 21! / (2!^{2} 3!^{4})$
二者相乘，得出有利于事件E的分法总数,进而得出E的概率为 $17! 21! / (17^{21} 2!^{3} 3!^{4} 4! 5! 6!)$

1.3事件的运算、条件概率与独立性

.3.1事件的蕴含、包含及相等

在同一试验下的两事件A和B,如果当A发生时B必发生，则称A蕴含B,或者说B包含A,记为A⊂B.若A,B互相蕴含，即A⊂B且B⊂A,则称A,B两事件相等，记为A=B.

1.3.2事件的互斥和对立

若两事件A,B不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互斥的.如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的.
互斥事件的一个重要情况是“对立事件”，若A为一事件 $B = A 不发生$ ，则事件B=A不发生称为A的对立事件，多记为 $Ᾱ$ (读作Abar,也记为 $A^{c}$ ).
例如，投掷一个骰子，事件A={掷出奇数点}={1,3,5}的对立事件是B={掷出偶数点}={2,4,6}.对立事件也常称为“补事件”.拿上例来说，事件A包含了三个试验结果：1,3和5，而对立事件B中所含的三个试验结果2,4和6，正好补足了前面三个，以得到全部试验结果。

1.3.3事件的和（或称并）

事件的和很自然地推广到多个事件的情形.设有若干个事件$A1,A_2,…,A_n $, 它们的和 A ，定义为事件$ A ={A_1发生，或A_2发生，…，或A_n发生}={A_1，A_2，…，A_n至少发生一个} $, 且记为$ A_1＋A_2+…+A_n $或$ \sum{i = 1}^{n}A_i$

1.3.4概率的加法定义

若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和： $P (A_{1} + A_{2} + \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots$
事件个数可以是有限的或无限的，这定理就称为(概率的)加法定理，其重要条件是各事件必须为两两互斥.

$P (Ᾱ) = 1 - P (A)$

1.3.5事件的积(或称交)、事件的差

设有两事件A,B,则如下定义的事件C, C ={A,B都发生}称为两事件A,B之积或乘积，并记为AB.
多个事件$A1,A_2,… $(有限或无限个都可以) 的积的定义类几似：$ A={A_1,A_2,…都发生} $, 记为$ A=A_1A_2… $, 或$ \prod{i = 1}^{n}Ai $; (事件个数有限) 或$ \prod{i = 0}^{\infty}A_i$(事件个数无限).

两个事件A,B之差，记为A-B,定义为A-B ={A发生，B不发生}
A-B = $A \overset{―}{B}$

1.3.6条件概率

让我们在古典概率的模式下来分析一般的情况.设一试验有N个等可能结果，事件A,B分别包含其M?和M,个结果，它们有$M1 $和$ M_2 $个是公共的，这就是事件 A B 所包含的试验结果数 . 若已给 B 发生，则我们的考虑由起先的 N 个可能结果局限到现在的$ M_2 $个，其中只有$ M{12} $个试验结果使事件 A 发生，故一个合理的条件概率定义，应把$ P(A|B) = M{12}/M_2=(M{12}/N)/(M_{2}/N)= P(AB)/P(B) $. 由此得出如下的一般定义：设有两事件 A, B 而 P (B) \neq 0. 则 “ 在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率 ”, 记为 P (A | B), 定义为$ P(A|B)= P(AB)/P(B)$.

1.3.7事件的独立性，概率乘法定理

P(AB)= P(A)P(B) 两事件A,B若满足该公式,则称A,B独立.两独立事件A,B的积AB之概率P(AB)等于其各自概率之积P(A)P(B).

设$A1,A_2,… $为有限或无限个事件 . 如果从其中任意取出有限个$ A{i1},A{i2},…,A{im} $都成立 .$ P(A{i1}A{i2},…A{im})= P(A{i1})P(A{i2})…P(A{im}) $则称事件$ A{i1},A{i2},…,A{im} $相互独立或简称独立 . 这个定义与由条件概率出发的定义是等价的，后者是说：对任何互不相同的$ i_1,i_2,…,i_m $, 有$ P(A{i1}|A{i2},…A{im})= P(A{i_1})$

一个居民区有n个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口都办理所有业务.c太小，经常排长队；c太大又不经济.现设在每一指定时刻，这n个人中每一个是否在邮局是独立的，每人在邮局的概率都是p.设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过m”这个事件的概率，要不小于a(例如，a=0.80,0.90或0.95).问至少须设多少窗口?

把n个人编号为1,…,n,记事件$Ei $= 在指定时刻第 i 个人在邮局办事, i = 1, \dots, n 则在指定时刻，邮局的具体情况可以用形如$ $E_1\overline{E}_2E_3\overline{E}_4….E{n-1}\overline{E}_n$$
这种事件去描述之.为了每个窗口排队人数都不超过m,在上述序列中，不加“bar”的E的个数，至多只能是cm.现固定一个k≤cm,来求公式中恰有k个不加bar的E”这事件 $B_{k}$ 的概率.由独立性以及 $P (E_{i}) = p$ , $P ({\overset{―}{E}}_{i}) = 1 - p$ ,知每个像公式那样的序列且不加bar的E恰有k个时，概率为 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .但k个不加bar的位置，可以是n个位置中的任何k个.因此，一共有 $(\begin{matrix} n k \end{matrix})$ 个形如公式的序列，其中不加bar的E恰有k个，这样得到 $P (B_{k}) = (\begin{matrix} n k \end{matrix}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .由于k可以为0,1,…,cm,且不同k的k对应的 $B_{k}$ 互斥，故得

P (每 个 窗 口 排 队 人 数 不 超 过) = \sum_{k = 0}^{c m} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

找一个最小的自然数c,使上式不小于指定的a,就是问题的答案.

1.3.8全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式
设 $B_{1}, B_{2}, \dots$ 为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个.用式表之，即

B_{i} B_{j} = (不 可 能 事 件), 当 i \neq j

B_{1} + B_{2} + \dots = Ω (必 然 事 件)

有时把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”.注意，任一事件B及其对立事件组成一个完备事件群.
现考虑任一事件A.因Ω为必然事件，有 $A = A Ω = A B_{1} + A B_{2} + \dots .$ 因 $B_{1}, B_{2}, \dots$ 两两互斥，显然 $A B_{1}, A B_{2}, \dots$ 也两两互斥.故依加法定理,有 $P (A) = P (A B_{1}) + P (A B_{2}) + \dots$
再由条件概率的定义，有 $P (A B_{i}) = P (B_{i}) P (A | B_{i})$ .代入上式得全概率公式”

P (A) = P (B_{1}) P (A | B_{1}) + P (B_{2}) P (A | B_{2}) + \dots

贝叶斯公式
在全概率公式的假定之下，有

P (B | A) = P (A B_{i}) / P (A) = P (B_{i}) P (A | B_{i}) / \sum_{j} P (B_{j}) P (A | B_{j})

第二章随机变量及概率分布

2.1 一维随机变量

2.1.1 随机变量的概念

随机变量就是“其值随机会而定”的变量.

2.1.2离散型随机变量的分布及重要例子

设X为离散型随机变量，其全部可能值为{ $a_{1}, a_{2} \dots$ }.则

p_{i} = P (X = a_{i}), i = 1, 2, \dots $ $ 称 为 X 的 概 率 函 数 . 显 然 有 $ $ p_{i} \geq 0, p_{1} + p_{2} + \dots = 1

后一式是根据加法定理，因为事件{ $X = a_{1}, 或 a_{2}, \dots$ }为必然事件，而又可表为一些互斥事件 $x = a_{1}, X = a_{2}, \dots$ 之和.

设X为一随机变量，则函数$$
F(x)=P(X \leqslant x)=\sum_{\left{i: a_i \leqslant x }\right.} p_i

称 为 X 的 分 布 函 数 . F (x) 是 单 调 非 降 的; 当 x \to $ \infty $ 时 ， F (x) \to 1; 当 x \to - $ \infty $ 时 ， F (x) \to 0. 二 项 分 布 B (n, p) $ p_{i} = b (i; n, p) = (\begin{array}{l} n \\ i \end{array}) p^{i} (1 - p)^{n - i}, i = 0, 1, \dots, n $ 泊 松 分 布

P(X=i)=\mathrm{e}^{-\lambda }\lambda^i / i !

几 何 分 布

P(X=i)=p(1-p)^i, i=0,1,2, \cdots

统计学 - 概率论与数理统计

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第一章事件的概率

1.1 概率是什么

1.1.1 主观概率

1.1.2试验与事件

1.1.3 古典概率

1.1.4概率的统计定义

1.1.5概率的公理化定义

1.2古典概率计算

1.2.1 排列组合的几个简单公式

1.2.2古典概率计算举例

1.3事件的运算、条件概率与独立性

.3.1事件的蕴含、包含及相等

1.3.2事件的互斥和对立

1.3.3事件的和（或称并）

1.3.4概率的加法定义

1.3.5事件的积(或称交)、事件的差

1.3.6条件概率

1.3.7事件的独立性，概率乘法定理

1.3.8全概率公式与贝叶斯公式

第二章随机变量及概率分布

2.1 一维随机变量

2.1.1 随机变量的概念

2.1.2离散型随机变量的分布及重要例子

2.1.3连续型随机变量的分布及重要例子

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希腊字母读音

第一章 事件的概率

1.1 概率是什么

1.1.1 主观概率

1.1.2试验与事件

1.1.3 古典概率

1.1.4概率的统计定义

1.1.5概率的公理化定义

1.2古典概率计算

1.2.1 排列组合的几个简单公式

1.2.2古典概率计算举例

1.3事件的运算、条件概率与独立性

.3.1事件的蕴含、包含及相等

1.3.2事件的互斥和对立

1.3.3事件的和（或称并）

1.3.4概率的加法定义

1.3.5事件的积(或称交)、事件的差

1.3.6条件概率

1.3.7事件的独立性，概率乘法定理

1.3.8全概率公式与贝叶斯公式

第二章 随机变量及概率分布

2.1 一维随机变量

2.1.1 随机变量的概念

2.1.2离散型随机变量的分布及重要例子

2.1.3连续型随机变量的分布及重要例子

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第一章事件的概率

第二章随机变量及概率分布